Question

18．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=8，设∠BAC=θ，△ABC的面积是S，且满足$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}≤S≤4\sqrt{3}$．
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f（θ）=2sin²θ-$\sqrt{3}$sin2θ的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量数量积的定义和三角形面积公式，求出角θ的取值范围；
（2）化简f（θ）为正弦型函数，根据θ的取值范围求出f（θ）的最值．

解答 解：（1）△ABC中，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=8$，
∴bccosθ=8，
∴$bc=\frac{8}{cosθ}$；
又△ABC的面积为$S=\frac{1}{2}bcsinθ=4tanθ$，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤tanθ≤\sqrt{3}$；
又θ∈（0，π），
∴$θ∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$；…．（7分）
（2）$f（θ）=2{sin^2}θ-\sqrt{3}sin2θ$
=$1-2（\frac{1}{2}cos2θ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2θ）$
=$1-2（sin\frac{π}{6}cos2θ+cos\frac{π}{6}sin2θ）$
=$1-2sin（2θ+\frac{π}{6}）$，…（10分）
由（1）知，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2θ+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2θ+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]；
当$θ=\frac{π}{6}$时，f（θ）_min=1-2×1=-1；
当$θ=\frac{π}{3}$时，f（θ）_max=1-2×$\frac{1}{2}$=0．…（14分）（未指出θ值各扣1分）

点评 本题考查了平面向量的数量积运算与三角恒等变换问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．