Question

7．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x+2，x≤2\\{log_2}x，x＞2\end{array}\right.$，若?x₀∈R，使得$f（{x_0}）≤5m-4{m^2}$成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． $[{-1，\frac{1}{4}}]$
• B． $[{\frac{1}{4}，1}]$
• C． $[{-2，\frac{1}{4}}]$
• D． $[{\frac{1}{3}，1}]$

Answer 1

分析 求出分段函数的最小值，然后求解不等式的解集即可．

解答 解：函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x+2，x≤2\\{log_2}x，x＞2\end{array}\right.$，当x≤2时，函数是二次函数的一部分，二次函数的对称轴x=1，函数的最小值为：1．当x＞2时．y=log₂x＞1，
若?x₀∈R，使得$f（{x_0}）≤5m-4{m^2}$成立，
可得1≤5m-4m²，解得m∈$[\frac{1}{4}，1]$．
故选：B．

点评 本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．