Question

6．已知函数$f（x）=a（x+\frac{1}{x}）-|{x-\frac{1}{x}}|$（a∈R）．
（Ⅰ）当$a=\frac{1}{2}$时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若$f（x）≥\frac{1}{2}x$对任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a的值带入f（x），求出f（x）的解析式，从而求出f（x）的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，分离参数a，从而求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当$a=\frac{1}{2}$时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2x}-\frac{x}{2}，x∈（{-1，0}）∪[{1，+∞}）\\ \frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}，x∈（{0，1}）∪（{-∞，-1}]\end{array}\right.$…．（2分）
所以f（x）的单调递增区间是（0，1]，（-∞，-1]，
单调递减区间是[1，+∞），[-1，0）…．（6分）
（Ⅱ）由$f（x）≥\frac{1}{2}x$得$a（x+\frac{1}{x}）-|{x-\frac{1}{x}}|≥\frac{1}{2}x$，
∴$a（{x^2}+1）-|{{x^2}-1}|≥\frac{1}{2}{x^2}$
①当0＜x＜1时，$a（{x^2}+1）+{x^2}-1≥\frac{1}{2}{x^2}$，
∴$a≥\frac{{1-\frac{1}{2}{x^2}}}{{{x^2}+1}}$…（8分）
∵$\frac{{1-\frac{1}{2}{x^2}}}{{{x^2}+1}}=\frac{3}{{2（{x^2}+1）}}-\frac{1}{2}∈（{\frac{1}{4}，1}）$∴a≥1…（10分）
②当x＞1时，$a（{x^2}+1）-{x^2}+1≥\frac{1}{2}{x^2}$，
∴$a≥\frac{{\frac{3}{2}{x^2}-1}}{{{x^2}+1}}$…（12分）
∵$\frac{{\frac{3}{2}{x^2}-1}}{{{x^2}+1}}=\frac{3}{2}-\frac{5}{{2（{x^2}+1）}}∈[\frac{1}{4}，\frac{3}{2}）$，
∴$a≥\frac{3}{2}$…．…（14分）
综上所述，a的取值范围是$[\frac{3}{2}，+∞）$．…（15分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．