Question

若奇函数f（x）在（-∞，0）内是减函数，且f（-2）=0，则不等式x•f（x）＞0的解集为

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：奇函数f（x）在（-∞，0）内是减函数，则f（x）在（0，+∞）内是减函数．且f（-2）=f（2）=0，
不等式x•f（x）＞0等价为

x＞0 f(x)＞0=f(2)

或

x＜0 f(x)＜0=f(-2)

，运用单调性去掉f，解出它们，再求并集即可．

解答： 解：奇函数f（x）在（-∞，0）内是减函数，
则f（x）在（0，+∞）内是减函数．
且f（-2）=f（2）=0，
不等式x•f（x）＞0等价为

x＞0 f(x)＞0=f(2)

或

x＜0 f(x)＜0=f(-2)

，
即有

x＞0 x＜2

或

x＜0 x＞-2

，
即有0＜x＜2或-2＜x＜0．
则解集为（-2，0）∪（0，2）．
故答案为：（-2，0）∪（0，2）

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意讨论x的范围，属于中档题．