Question

已知O为坐标原点，

OP

=(x，y)，

OA

=(a，0)，

OB

=(0，a)，

OC

=(3，4)，记|

PA

|、|

PB

|、|

PC

|中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是（　　）

• A、[

  7

  ，+∞)
• B、[7+2

  6

  ，+∞)
• C、[7-2

  6

  ，+∞)
• D、[7，7+2

  6

  )

Answer 1

考点：向量的模

专题：平面向量及应用

分析：对a分类讨论，当a=0时，M≥

5

2

．当a=7时，（A，B，C三点共线）时，则当P落在AB的中点上时，M取最小值．
当a≠0，且a≠7时，当P落在△ABC的外心Q上时，且Q最小时，M有最小值．由于Q所在的直线与AB垂直，故Q落在直线y=x上．利用直线与抛物线相交即可得出．

解答： 解：∵

OP

=(x，y)，

OA

=(a，0)，

OB

=(0，a)，

OC

=(3，4)，
当a=0时，P取AC的中点时，M≥

5

2

．
当a=7时，（A，B，C三点共线）时，则当P落在AB的中点上时，M取最小值，M≥

7 2

2

．
当a≠0，且a≠7时，当P落在△ABC的外心Q上时，且Q最小时，M有最小值．
∵Q所在的直线与AB垂直，故Q落在直线y=x上．
若PA²≥PB²，则y≥x；
当y≥x时，M²=max{PA²，PC²}．
∵到点C的距离等于到x轴的距离的点的轨迹是抛物线：（x-3）²=8（y-2），
交直线y=x于P（7-2

6

，7-2

6

），
∴M_min=7-2

6

，
∴当a=2时，M取最小值7-2

6

．
∴M的取值范围是[7-2

6

，+∞)．
故选：C．

点评：本题考查了向量的差的模的运算、分类讨论思想方法、三角形外心的性质、直线与抛物线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．