Question

15．在△ABC中，已知a=5，b=4，cos（A-B）=$\frac{31}{32}$，则cosC=$\frac{1}{8}$，AB=6．

Answer 1

分析 由已知得A＞B．在BC上取D，使得BD=AD，连接AD，设BD=x，则AD=x，DC=5-x．在△ADC中，cos∠DAC=cos（A-B）=$\frac{31}{32}$，由余弦定理求出x=4，从而cosC=$\frac{1}{2}$•$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{8}$，再由余弦定理能求出AB．

解答 解：∵在△ABC中，a=5，b=4，cos（A-B）=$\frac{31}{32}$，
∴a＞b，∴A＞B．在BC上取D，使得BD=AD，连接AD，
设BD=x，则AD=x，DC=5-x．
在△ADC中，cos∠DAC=cos（A-B）=$\frac{31}{32}$，
由余弦定理得：（5-x）²=x²+4²-2x•4•$\frac{31}{32}$，
即：25-10x=16-$\frac{31}{4}$x，
解得：x=4．
∴在△ADC中，AD=AC=4，CD=1，
∴cosC=$\frac{1}{2}$•$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{8}$，
∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{25+16-2×5×4×\frac{1}{8}}$=6．
故答案为：$\frac{1}{8}$，6．

点评 本题考查三角形角的余弦值及边长的求法，考查余弦定理、三角形性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．