Question

7．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC满足AB=BC=$\sqrt{3}$，AC=3，若该三棱锥体积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，则其外接球的半径为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 如图所示，由AB=BC=$\sqrt{3}$，AC=3，利用余弦定理可得B，．当DB⊥平面ABC时，该三棱锥取得体积的最大值为．△ABC的外接圆的圆心为B，半径为r，利用正弦定理可得r，由V_D-ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，解得DB．设三棱锥D-ABC的外接球的球心为O，在Rt△OBC中，R²=（3-R）²+3，解出R即可．

解答 解：如图所示，由AB=BC=$\sqrt{3}$，AC=3，
可得cosB=$\frac{3+3-9}{2×\sqrt{3}×\sqrt{3}}=-\frac{1}{2}$，B∈（0，π），
∴B=120°，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×sin12{0}^{0}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
设△ABC的外接圆的半径为r，∵$\frac{3}{sin12{0}^{0}}=2r$，r=$\sqrt{3}$．
当DB⊥平面ABC时，该三棱锥取得体积的最大值为 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
由V_D-ABC=$\frac{1}{3}×DB×\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
解得DB=3．
设三棱锥D-ABC的外接球的球心为O，
在Rt△OBC中，R²=（3-R）²+（$\sqrt{3}$）²，
解得R=2．
故选：B．

点评 本题考查了空间位置关系、球的性质、三棱锥的体积、余弦定理，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．