Question

10．设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinCsinB=sinB-sin（A-C）．
（I）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）当B为钝角时，求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由诱导公式和和差化积公式对已知等式进行变形处理得到：sinB=cosA=sin（$\frac{π}{2}$+A）=sin（$\frac{π}{2}$-A），易得该三角形的形状；
（Ⅱ）B-A=$\frac{π}{2}$且B为钝角，可得A=B-$\frac{π}{2}$，C=π-A-B=$\frac{3π}{2}$-2B，B∈（ $\frac{π}{2}$，π）．可得cosB∈（-1，0）．sinA+sinC=-2（cosB-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$=f（B），再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）2sinCsinB=sinB-sin（A-C）=sin（A+C）-sin（A-C）=2cosAsinC．
∵sinC≠0，
∴sinB=cosA=sin（$\frac{π}{2}$+A）=sin（$\frac{π}{2}$-A），
①A+B=$\frac{π}{2}$，则△ABC为直角三角形；
②B=$\frac{π}{2}$+A，则△ABC为钝角三角形；
（Ⅱ）：∵B-A=$\frac{π}{2}$且B为钝角，
∴A=B-$\frac{π}{2}$，C=π-A-B=π-（B-$\frac{π}{2}$）-B=$\frac{3π}{2}$-2B，B∈（$\frac{π}{2}$，π）．
∴cosB∈（-1，0）．
sinA+sinC=sin（B-$\frac{π}{2}$）+sin（$\frac{3π}{2}$-2B）=-cosB-cos2B=-2cos²B-cosB+1
=-2（cosB-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$=f（B），
∴f（B）∈（0，1）．
∴sinA+sinC的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查了诱导公式、三角函数的单调性、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．