题目内容

已知函数f（x）=（
a
x
）-x，若对任意的x∈（0，1），有不等式f（1-x）f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．
考点：函数单调性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：问题转化为a2-a[x2+（1-x）2]+[x（1-x）]2≥x（1-x），设u=x（1-x）∈（0，
1
4
]，得：（a+u）（a+u-1）≥0，求出a的值即可．
解答： 解：f（x）=
a
x
-x，f（1-x）=
a
1-x
-（1-x），
对任意x属于（0，1），不等式f（x）f（1-x）≥1，
?（a-x2）[a-（1-x）2]≥x（1-x），
?a2-a[x2+（1-x）2]+[x（1-x）]2≥x（1-x），①
设u=x（1-x）∈（0，
1
4
]，①变为a2-a（1-2u）+u2-u≥0，
即（a+u）（a+u-1）≥0，
∴a≤-u，或a≥1-u，
∴a≤-
1
4
，或a≥1，
∴实数a的取值范围是：{a|a≤-
1
4
，或a≥1}．
点评：本题考查了不等式的解法，考查了换元思想，本题是一道中档题．
练习册系列答案
相关题目
若不等式|x+1|-|x-2|≤a对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是
 
．
设f（x）为定义在区间I上的函数．若对I上任意两点x1，x2（x1≠x2），总有f（
x1+x2
2
）＜
1
2
[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）为I上的严格下凸函数．若f（x）为I上的严格下凸函数，其充要条件为：对任意x∈I有f″（x）＞0成立（f″（x）是函数f（x）导函数的导函数），则以下结论正确的有
 
．
①f（x）=
2x+2014
3x+7
，x∈[0，2014]是严格下凸函数．
②设x1，x2∈（0，
π
2
）且x1≠x2，则有tan（
x1+x2
2
）＞
1
2
（tanx1+tanx2）
③f（x）=-x3+3x2在区间[1，2014]上是严格下凸函数．
④f（x）=
1
6
x3+sinx，（x∈（
π
6
，
π
3
））是严格下凸函数．
函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为
π
8
的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=7π，则[f（a4）]2-a1a7=
 
．
如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面
α分别与直线BC，AD相交于点G，H，下列判断中：
①对于任意的平面α，都有S△EFG=S△EFH；
②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；
③对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点或相互平行；
④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC-EGFH的体积是一个定值．
其中正确的序号是（　　）
A、①③④B、③④
C、②③D、①②③
设θ∈（
3π
4
，π），则关于x，y的方程
x2
sinθ
+
y2
cosθ
=1所表示的曲线为（　　）
A、长轴在y轴上的椭圆
B、长轴在x轴上的椭圆
C、实轴在y轴上的双曲线
D、实轴在x轴上的双曲线
已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1=
1
2
，前n项和为Sn，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列．
（1）求等比数列{an}的通项公式；
（2）当n≥3时，求数列{|3+log2an|}的前n项和Tn．
已知
x-y+2≥0
x+y-4≥0
2x-y-5≤0
，
（1）求z=x+2y的最大和最小值．
（2）求z=
y
x
的取值范围．
（3）求z=x2+y2的最大和最小值．
已知函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）．
（1）当a=e时，g（x）=mx2（m＞0，x∈R），
①求H（x）=f（x）g（x）的单调增区间；
②当x∈[-2，4]时，讨论曲线y=f（x）与y=g（x）的交点个数．
（2）若A，B是曲线y=f（x）上不同的两点，点C是弦AB的中点，过点C作x轴的垂线交曲线y=f（x）于点D，kD是曲线y=f（x）在点D处的切线的斜率，试比较kD与kAB的大小．

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