Question

设函数f（x）=

x

mx+1

的图象过点（1，

2

3

），f（x₀）=

1

1005

，f（x_n-1）=x_n，n=1，2，3，…．
（1）问数列{

1

x0

}是否是等差数列？
（2）求x₂₀₁₄的值．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）运用函数f（x）=

x

mx+1

的图象过点（1，

2

3

），求出函数f（x）解析式，再运用f（x₀）=

1

1005

求出x₀=

2

2009

，可判断数列{

1

x0

}是等差数列．
（2）运用通项公式求出即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=

x

mx+1

的图象过点（1，

2

3

），即

1

m+1

=

2

3

，m=

1

2

；
f（x）=

2x

x+2

，由f（x₀）=

1

1005

得x₀=

2

2009

，
数列{

1

x0

}是常数列，所以数列{

1

x0

}是等差数列．
（2）由f（x_n-1）=x_n可得x_n=

2xn-1

xn-1+2

，
∵

1

xn

-

1

xn-1

=

1

2

+

1

xn-1

-

1

xn-1

=

1

2

，
∴数列{

1

xn

}是等差数列，
 

1

x0

=

2009

2

，

1

x1

=1005，
 

1

x2014

=

4023

2

，x₂₀₁₄=

2

4023

，
 x₂₀₁₄的值为

2

4023

．

点评：本题考查了数列的函数性，递推关系，难度较大，需要有很大的耐心，计算量．