Question

给出下列四个命题：
①?x∈R，e^x≥ex；
②?x₀∈（1，2），使得（x₀²-3x₀+2）e^x₀+3x₀-4=0成立；
③在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；
④已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c，对角线长为l，则l³＞a³+b³+c³；
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,解三角形,简易逻辑

分析：①，令f（x）=e^x-ex，利用导数可求得当x=1时，f（x）=e^x-ex取得极小值，也是最小值，从而可判断①；
②，依题意得：e^x₀=

4-3x0

x02-3x0+2

=

3( 4 3 -x0)

(x0-2)(x0-1)

，易判断当

4

3

＜x＜2时，e^x₀＞0，从而判断②；
③在△ABC中，依题意，利用两角和的正切公式可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，可判断③；
④画出长方体，标出数据，利用作差法可判断④．

解答： 解：①，令f（x）=e^x-ex，则f′（x）=e^x-e，
当x≥1时，f′（x）≥0，f（x）=e^x-ex在[1，+∞）上单调递增；
当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）=e^x-ex在（-∞，1）上单调递减；
∴当x=1时，f（x）=e^x-ex取得极小值，也是最小值，又f（1）=e¹-e=0，
∴?x∈R，e^x≥ex，①正确；
②，∵（x₀²-3x₀+2）e^x₀+3x₀-4=0，
∴e^x₀=

4-3x0

x02-3x0+2

=

3( 4 3 -x0)

(x0-2)(x0-1)

，
当

4

3

＜x＜2时，

3( 4 3 -x0)

(x0-2)(x0-1)

＞0，
即?x₀∈（1，2），使得（x₀²-3x₀+2）e^x₀+3x₀-4=0成立，②正确；
③，在△ABC中，
∵tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC
=-tanC（1-tanAtanB）+tanC
=tanAtanBtanC＞0，
∴tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，
∴△ABC是锐角三角形，③正确；
④，∵l³-a³-b³-c³=（a²+b²+c²）•l-a³-b³-c³
=a²（l-a）+b²（l-b）+c²（l-c）＞0，
∴l³＞a³+b³+c³，④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查函数的性质及应用，考查导数的综合应用，突出考查三角形的判断及不等式的应用，属于难题．