Question

实数a，b，c，d满足（b+a²-3a）²+（c+d+2）²=0，则（a-c）²+（b+d）²的最小值是

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由平方数非负，得到：b+a²-3a=0，且c+d+2=0，由于（a-c）²+（b+d）²的几何意义：两点A（a，b）、B（c，-d）的距离的平方，则为求抛物线y=3x-x²上点A和直线x-y+2=0上点B的距离的最小值，先判断直线和抛物线相离，可设直线y=x+t与抛物线相切，由联立抛物线方程，运用判别式为0，求出t，再由两直线的距离公式，即可得到最小值，进而得到答案．

解答： 解：实数a，b，c，d满足（b+a²-3a）²+（c+d+2）²=0，
则有b+a²-3a=0，且c+d+2=0，
由于（a-c）²+（b+d）²的几何意义：两点A（a，b）、B（c，-d）的距离的平方，
则为求抛物线y=3x-x²上点A和直线x-y+2=0上点B的距离的最小值，
由于联立方程x-y+2=0和y=3x-x²上，消去y，得到x²-2x+2=0，方程无实数解，
故直线和抛物线相离，可设直线y=x+t与抛物线相切，
则联立抛物线方程，消去y，得，x²-2x+t=0，由判别式为0，即有4-4t=0，
即t=1，则切线为：y=x+1，
由于两直线y=x+2与直线y=x+1的距离为d=

|2-1|

2

=

2

2

，
即有抛物线y=3x-x²上点A和直线x-y+2=0上点B的距离的最小值为

2

2

，
则有（a-c）²+（b+d）²的最小值为

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查两点距离的最值问题，注意运用切线知识，转化为直线间的距离，考查运算能力，属于中档题和易错题．