Question

数列{a_n}满足a₁=

3

2

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），则m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

的整数部分是

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由题设知

1

an-1

，通过累加，得m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

=

1

a1-1

=2-

1

a2015-1

，由此能求出m的整数部分．

解答： 解：由题设知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），
∴

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，
∴

1

an-1

-

1

an+1-1

=

1

an

，
通过累加，得m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

=

1

a1-1

=2-

1

a2015-1

．
由a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0，
即a_n+1≥a_n，
由a₁=

3

2

，a₂=

7

4

，a₃=

37

16

，
∴a₂₀₁₅≥a₂₀₁₄≥a₂₀₁₃≥…≥a₃＞2，
∴a₂₀₀₅-1＞1，
∴0＜

1

a2015-1

＜1，
∴1＜m＜2，
所以m的整数部分为1．
故答案为：1．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式，属于中档题．