Question

已知函数f（x）=

3

sin（π+x）sin（

3π

2

-x）-cos²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若α∈[-

π

2

，0]，f（

1

2

α+

π

3

）=

1

10

，求tanα的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,运用诱导公式化简求值,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，由周期公式可得；
（2）由（1）结合f（

1

2

α+

π

3

）=

1

10

化简可得cosα=

3

5

，由角的范围和同角三角函数的基本关系可得．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=

3

sin（π+x）sin（

3π

2

-x）-cos²x
=

3

（-sinx）（-cosx）-cos²x=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-

1

2

∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由（1）f（

1

2

α+

π

3

）=sin[2（

1

2

α+

π

3

）-

π

6

]=

1

10

，
化简可得sin（α+

π

2

）=

3

5

，即cosα=

3

5

∵α∈[-

π

2

，0]，∴sinα=-

4

5

∴tanα=

sinα

cosα

=-

4

3

点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的周期性和同角三角函数的基本关系，属基础题．