Question

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=2ⁿ•a_n，则数列{b_n}的前n项和S_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，利用等差数列的通项公式先求出d=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．知b_n=a_n•2ⁿ=2n•2ⁿ，再由错位相减法能够求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：∵数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，
∴2+2+d+2+2d=12，
解得d=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
∴b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，①
2S_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺²，②
①-②得-S_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²
=

22(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．
故答案为（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列前n项和的求法，综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用错位相减法进行求和．