Question

已知f（x）+2f（

1

x

）=3x．
（1）求f（x）的解析式，并标注定义域；
（2）指出f（x）的单调区间，并用定义加以证明．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的单调性及单调区间

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由 f(x)+2f(

1

x

)=3x①
用

1

x

代替x，得 f(

1

x

)+2f(x)=

3

x

②联立方程组求出f（x）的式子，注意定义域．
（2）运用单调性的定义证明判断．

解答： 解：（1）由 f(x)+2f(

1

x

)=3x①
用

1

x

代替x，得 f(

1

x

)+2f(x)=

3

x

②
②×2-①，得 3f(x)=

6

x

-3x，
所以 f(x)=

2

x

-x，（x≠0）
（2）由（1），f(x)=

2

x

-x，x≠0，
其递减区间为（-∞，0）和（0，+∞），无增区间．
事实上，任取x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

2

x1

-x1-

2

x2

+x2=

2(x2-x1)

x1x2

-(x1-x2)=(x2-x1)•

2+x1x2

x1x2

∵x₁＜x₂＜0∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，2+x₁x₂＞0，
所以 (x2-x1)•

2+x1x2

x1x2

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（-∞，0）上递减．同理可证其在（0，+∞）上也递减．

点评：本题考查了利用方程的方法求解函数解析式，与单调性的定义判断证明．