Question

关于函数f（x）=

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xsinx．下列命题正确的是

 

．
①函数y=f（x）的图象是中心对称图形，对称中心是原点；
②对任意实数x，|f（x）|≤

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|x|均成立；
③函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等；
④函数y=f（x）的图象与直线y=

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x有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等；
⑤函数y=f（x）有无数个极大值点，任意相邻极大值点间的距离相等．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：由函数的奇偶性的定义，即可判断①；由于|sinx|≤1，即可判断②；令f（x）=0，求出零点，即可判断③；
令f（x）=

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x，求得交点的横坐标，即可判断④；求出导数，令导数为0，求得tanx=-x，由y=tanx，y=-x的图象即可判断⑤．

解答： 解：对于①，∵f（-x）=-

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xsin（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数，
∴函数y=f（x）的图象关于y轴对称，即y=f（x）的图象是轴对称图形，故①错误；
对于②，∵|sinx|≤1，∴对任意实数x，|f（x）|≤

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|x|均成立，故②正确；
对于③，令f（x）=0，则x=kπ，k为整数，图象与x轴有无穷多个公共点，
且任意相邻两公共点间的距离相等均为π，故③正确；
对于④，当x=2kπ+

π

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（k∈Z）或x=2kπ-

π

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（k∈Z）时，sinx=1或-1，
故函数y=f（x）的图象与直线y=

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x有无穷多个公共点，
但任意相邻两点的距离不相等，故④错误；
对于⑤，f′（x）=

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（sinx+xcosx），令f′（x）=0，则sinx+xcosx=0，即有tanx=-x，
由y=tanx，y=-x的图象可知有无穷个交点，
即有有无数个极大值点，任意相邻极大值点间的距离不相等，故⑤错误．
故答案为：②③

点评：本题考查三角函数的图象和性质，考查函数的奇偶性和对称性、值域，以及极值性，考查直线与函数图象的关系，属于中档题．