Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为

3

2

，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知p为非零常数，若过点P（p，0）的直线l与椭圆C相交于不同于椭圆长轴顶点的两点M，N，且

MP

=λ

PN

，问在x轴上是否存在定点Q，使

QM

-λ

QN

与x轴垂直？若存在，求定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，

c

a

=

3

2

，

2b2

a

=1，求出a，b，即可求得椭圆的方程；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在x轴上存在定点Q（t，0），再利用根与系数的关系，求出t的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答： 解：（1）由题意，

c

a

=

3

2

，

2b2

a

=1，
∴a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设在x轴上存在定点Q（t，0），使

QM

-λ

QN

与x轴垂直．
设直线l的方程为x-p=ky，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

MP

=λ

PN

，得y₁+λy₂=0．
即λ=-

y1

y2

①
∵

MN

=（4，0），

QM

-λ

QN

=（x₁-t-λx₂+λt，y₁-λy₂），
∴x₁-t-λx₂+λt=0，
∴x₁-t=λ（x₂-t），
即ky₁+p-t=λ（ky₂+p-t）②
①代入②得2ky₁y₂+（p-t）（y₁+y₂）=0③
把x=p+ky代入椭圆，消去x可得（k²+4）y²+2kpy+p²-4=0，
∴y₁+y₂=-

2kp

k2+4

，y₁y₂=

p2-4

k2+4

，
代入③化简可得pt=4，当t=

4

p

时，上式恒成立，
因此，在x轴上存在定点Q（

4

p

，0），使

QM

-λ

QN

与x轴垂直．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、向量的运算、椭圆方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．