Question

已知函数f（x）=e^2x+1-ax+1，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x+ey+1=0垂直，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设a＜2e³，当x∈[0，1]时，都有f（x）≥1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到f′（0），由f′（0）=e，求得a的值；
（2）求出导函数，由导函数的正负性，求出原函数的单调区间，注意函数中含有参数a，所以要对a进行分类讨论；
（3）对f（x）≥1进行化简，用分离变量法，把a表示成关于x的一个不等式，从而构造函数g（x），求g（x）的最小值，即a≤g（x）_min．

解答： 解：f′（x）=2e^2x+1-a，
（1）由题意知：f′（0）=2e-a=e，得a=e；
（2）当a≤0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在R上单调递增，
当a＞0时，由：f′（x）=2e^2x+1-a＞0，得x＞

1

2

ln

a

2

-

1

2

，
∴f（x）在(

1

2

ln

a

2

-

1

2

，+∞)上单调递增，
由：f′（x）=2e^2x+1-a＜0，得x＜

1

2

ln

a

2

-

1

2

，
∴f（x）在（-∞，

1

2

ln

a

2

-

1

2

）上单调递减，
综上：当a≤0时，f（x）的单调递增为R，
当a＞0时，f（x）的单调递增为(

1

2

ln

a

2

-

1

2

，+∞)，单调递减区间为（-∞，

1

2

ln

a

2

-

1

2

），
（3）由f（x）≥1得，e^2x+1≥ax，当x=0时，不等式成立，当x∈（0，1]时，a≤

e2x+1

x

，
令g(x)=

e2x+1

x

，则g′(x)=

(2x-1)e2x+1

x2

，易知，当x＜

1

2

时g′（x）＜0，当x＞

1

2

时g′（x）＞0，
∴g（x）在(0，

1

2

)上单调递减，在(

1

2

，1)上单调递增，
∴g（x）的最小值为g(

1

2

)=2e2，
∴a的取值范围为（-∞，2e²]．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数的单调性与导函数符号的关系，利用函数的最值解决恒成立问题，训练了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．