题目内容
已知函数f(x)=
ax3+bx，a，b是都不为零的常数．
（1）若函数f（x）在R上是单调函数，求a，b满足的条件；
（2）设函数g（x）=f′（x）-b-ex，若g（x）有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围．
| 1 |
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（1）若函数f（x）在R上是单调函数，求a，b满足的条件；
（2）设函数g（x）=f′（x）-b-ex，若g（x）有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数零点的判定定理
专题：导数的综合应用
分析：（1）若函数f（x）在R上是单调函数，只要f'（x）=ax2+b＞0或f'（x）=ax2+b＜0即可，即△＜0即可；
（2）由题意得若g（x）有两个极值点x1，x2，则则x1，x2是g'（x）=2ax-ex=0的两个根，
即方程2a=
有两个根，设h(x)=
，利用导数求得h（x）的最小值，h（x）min即可求得结论．
（2）由题意得若g（x）有两个极值点x1，x2，则则x1，x2是g'（x）=2ax-ex=0的两个根，
即方程2a=
| ex |
| x |
| ex |
| x |
解答：
解（1）f'（x）=ax2+b，若函数f（x）是单调函数，则由△＜0得ab＞0．
（2）由g（x）=ax2-ex，若g（x）有两个极值点x1，x2，
则x1，x2是g'（x）=2ax-ex=0的两个根，又x=0不是该方程的根，所以方程2a=
有两个根，
设h(x)=
，求导得：h′(x)=
①当x＜0时，h（x）＜0，且h'（x）＜0，h（x）单调递减；
②当x＞0时，h（x）＞0，
若0＜x＜1，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
若x＞1，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
若方程2a=
有两个根，只需：2a＞h（1）=e，
所以a＞
．
（2）由g（x）=ax2-ex，若g（x）有两个极值点x1，x2，
则x1，x2是g'（x）=2ax-ex=0的两个根，又x=0不是该方程的根，所以方程2a=
| ex |
| x |
设h(x)=
| ex |
| x |
| ex(x-1) |
| x2 |
①当x＜0时，h（x）＜0，且h'（x）＜0，h（x）单调递减；
②当x＞0时，h（x）＞0，
若0＜x＜1，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
若x＞1，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
若方程2a=
| ex |
| x |
所以a＞
| e |
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点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及求函数的最值知识，考查学生运用转化和划归思想解决问题的能力，属难题．
练习册系列答案
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