Question

等差数列{a_n}前n项和为S_n，已知（a₂-2）³+2013（a₂-2）=sin

2014π

3

，（a₂₀₁₃-2）³+2013（a₂₀₁₃-2）=cos

2015π

6

，则S₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：将两个等式相加，利用立方和公式将得到的等式因式分解，提取公因式得到a₂+a₂₀₁₃的值，利用等差数列的性质及数列的前n项和公式求出n项和．

解答： 解：（a₂-2）³+2013（a₂-2）=sin

2014π

3

=

3

2

，①
（a₂₀₁₃-2）³+2013（a₂₀₁₃-2）=cos

2015π

6

=-

3

2

，②
①+②得，
（a₂-2）³+2013（a₂-2）+（a₂₀₁₃-2）³+2013（a₂₀₁₃-2）=0，
即（a₂-2+a₂₀₁₃-2）[（a₂-2）²-（a₂-2）（（a₂₀₁₃-2）+（a₂₀₁₃-2）²]+2013（a₂-2+a₂₀₁₃-2）=0，
∴a₂-2+a₂₀₁₃-2=0，
即a₂+a₂₀₁₃=4，
∴S₂₀₁₄=

(a1+a2014)×2014

2

=1007×（a₂+a₂₀₁₃）=4028，
故答案为：4028．

点评：本题主要考查等差数列的前n项和，根据条件求出a₂+a₂₀₁₃=4是解决本题的关键．