Question

如图，△RBC中，RB=BC=2，点A、D分别是RB、RC的中点，且2BD=RC，边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连结PB、PC．
（1）求证：BC⊥PB；
（2）求二面角A-CD-P的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得点B在以点D为圆心，RC为半径的圆上，∠RBC=90°，∠PAD=∠RAD=∠RBC=90°由此能证明BC⊥PB．
（2）取RD的中点F，连结AF、PF，推导出∠AFP是二面角A-CD-P的平面角，由此能求出二面角A-CD-P的平面角的余弦值．

解答： （1）证明：∵点D是RC的中点，且2BD=RC，
所以点B在以点D为圆心，RC为半径的圆上，
所以∠RBC=90°，…（2分）
又因为点A是RB的中点，
∴AD∥BC，AD=

1

2

BC，
∴∠PAD=∠RAD=∠RBC=90°，∴PA⊥AD，∴PA⊥BC，
∵BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，…（4分）
∵PB?平面PAB，∴BC⊥PB．…（6分）
（2）解：取RD的中点F，连结AF、PF，
∵RA=AD=1，∴AF⊥RC，
∵AP⊥AR，AP⊥AD，∴AP⊥平面RBC，
∵RC?平面RBC，∴RC⊥AP，
∵AF∩AP=A，
∴RC⊥平面PAF，∵PF?平面PAF，∴RC⊥PF，
∴∠AFP是二面角A-CD-P的平面角，…（9分）
在Rt△RAD中，AF=

1

2

RD=

1

2

RA2+AD2

=

2

2

，
在Rt△PAF中，PF=

PA2+AF2

=

6

2

，cos∠AFP=

AF

PF

=

2 2

6 2

=

3

3

．
∴二面角A-CD-P的平面角的余弦值是

3

3

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．