Question

在R上定义运算?：x?y=（1-x）y，若对任意x＞2，不等式x?（x-m）≤m+2都成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、[-1，7]
• B、（-∞，7]
• C、（-∞，3]
• D、（-∞，-1]∪[7，+∞）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据新定义，分离参数，原不等式化为m≤

x2-x+2

x-2

．构造函数，利用基本不等式求出函数的最值，问题得以解决．

解答： 解：∵x?y=x（1-y），
∴（x-a）?x≤m+2转化为（x-m）（1-x）≤m+2，
∴-x²+x+mx-m≤m+2，
m（x-2）≤x²-x+2，
∵任意x＞2，不等式（x-m）?x≤a+2都成立，
∴m≤

x2-x+2

x-2

．
令f（x）=

x2-x+2

x-2

，x＞2，
则m≤[f（x）]_min，
而f（x）=

x2-x+2

x-2

=

(x-2)2+3(x-2)+4

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+3≥2

(x-2)• 4 x-2

+3=7，当且仅当x=4时，取最小值．
∴m≤7．
故选：B．

点评：本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用，解答此题的关键是理解定义，并会用定义来解题，属中档题．