Question

19．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=$\frac{π}{2}$．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|²=a²+b²，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$的最小值．

解答 解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ　　
由抛物线定义，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得|AB|²=a²+b²，整理得：|AB|²=（a+b）²-2ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$） ²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2×（$\frac{a+b}{2}$） ²=$\frac{1}{2}$（a+b）²，
则|AB|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）．
∴$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$≥$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（a+b）}{\frac{1}{2}（a+b）}$=$\sqrt{2}$，即$\frac{{|{AB}|}}{{|{MN}|}}$的最小值为$\sqrt{2}$．
故选C．

点评 本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题