Question

4．若数f（x）=lnx+x²+ax（a∈R）
（1）若函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y-1=0垂直，求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），得到关于a的方程，解出即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}+2x+a$，由f'（1）=2，解得：a=-1…（5分）
（2）∵$x＞0，f'（x）=\frac{1}{x}+2x+a≥2\sqrt{2}+a$
①当$a≥-2\sqrt{2}$时，f'（x）≥0恒成立，则f（x）在（0，+∞）单调递增；
②当$a＜-2\sqrt{2}$时，$f'（x）=\frac{{2{x^2}+ax+1}}{x}$，
设g（x）=2x²+ax+1，∵$a＜-2\sqrt{2}$，∴方程g（x）=0的两根都大于0，
此时函数的增区间为$（0，\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-8}}}{4}）$和$（\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-8}}}{4}，+∞）$，
减区间为$（\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-8}}}{4}$，$\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-8}}}{4}）$
综上，当$a≥-2\sqrt{2}$时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当$a＜-2\sqrt{2}$时，函数的增区间为$（0，\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-8}}}{4}）$和$（\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-8}}}{4}，+∞）$，
减区间为$（\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-8}}}{4}$，$\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-8}}}{4}）$…（12分）

点评 本题考查了切线方程以及函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．