Question

8．设m为实数，函数f（x）=-e^2x+2x+m．x∈R
（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当m≤1且x＞0时，e^2x＞2x+2mx+1．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出函数的极值，通过导函数的符号，求解函数的单调区间以及极值．
（2）令  g（x）=2x²+2mx-e^2x+1，求出导函数g'（x）=-2e^2x+4x+2m=2（-e^2x+2x+m）=2f（x），利用函数的单调性以及最值求解即可．

解答 解：（1）f（x）=-e^2x+2x+m令f'（x）=0
即-2e^2x+2=0⇒x₀=0…（2分）

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	单增	极大值	单减

…（4分）
f（x）的单调增区间是（-∞，0），单调减区间是（0，+∞）．
f（x）_极大值=f（0）=m-1…（6分）
（2）要证e^2x＞2x+2mx+1   即2x²+2mx-e^2x+1＜0
令  g（x）=2x²+2mx-e^2x+1…（8分）
g'（x）=-2e^2x+4x+2m=2（-e^2x+2x+m）
=2f（x）…（9分）
因为 m≤1f（x）_极大值=f（0）=m-1≤0，所以 g'（x）≤0
因此  g（x）单调递减，g（x）_max=g（0）=0所以g（x）＜0恒成立
即 e^2x＞2x+2mx+1…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及函数的极值的求法，考查转化思想以及构造法的应用．