Question

11．点M为棱长是2$\sqrt{2}$的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球O球面上的动点，点N为B₁C₁的中点，若满足DM⊥BN，则动点M的轨迹的长度为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{5}π}}{5}$
• B． $\frac{{4\sqrt{5}π}}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{10}π}}{5}$
• D． $\frac{{4\sqrt{10}π}}{5}$

Answer 1

分析 取BB₁的中点H，连结CH，则CH⊥NB，DC⊥NB，可得NB⊥面DCH，即动点M的轨迹就是平面DCH与内切球O的交线，求得截面圆的半径r=$\sqrt{{R}^{2}-{d}^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，动点M的轨迹的长度为截面圆的周长2πr

解答 解：如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球O的半径R=$\sqrt{2}$，由题意，取BB₁的中点H，连结CH，则CH⊥NB，DC⊥NB，∴NB⊥面DCH，
∴动点M的轨迹就是平面DCH与内切球O的交线，∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长是2$\sqrt{2}$，∴O到平面DCH的距离为d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
截面圆的半径r=$\sqrt{{R}^{2}-{d}^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，动点M的轨迹的长度为截面圆的周长2πr=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
故选：D

点评 本题考查了空间动点轨迹问题，弄清动点的轨迹是解题关键，属于难题．