Question

14．点P是双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$上任意一点，则P到两渐近线距离的乘积是3．

Answer 1

分析 先设P（x₁，y₁）是双曲线上任意一点，再求出双曲线的渐近线方程，根据点到线的距离公式分别表示出点P（x₁，y₁）到两条渐近线的距离，然后两距离再相乘整理即可得到答案．

解答 解：设P（x₁，y₁）是双曲线上任意一点，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{12}=1$，
该双曲的两条渐近线方程分别是$\sqrt{3}$x-y=0和$\sqrt{3}$x+y=0．
点P（x₁，y₁）到两条渐近线的距离分别是$\frac{|\sqrt{3}{x}_{1}-{y}_{1}|}{2}$和$\frac{|\sqrt{3}{x}_{1}+{y}_{1}|}{2}$，
它们的乘积是$\frac{|\sqrt{3}{x}_{1}-{y}_{1}|}{2}$•$\frac{|\sqrt{3}{x}_{1}+{y}_{1}|}{2}$=$\frac{3{{x}_{1}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{4}$=3，
．点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查双曲线的基本性质--渐近线方程，考查点到线的距离公式的应用．