Question

已知f（x）=log_a

1-mx

x-1

是奇函数（a＞0且a≠1）
（1）求m的值；
（2）当0＜a＜1时，判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并用定义证明；
（3）当a＞1时，x∈（r，a-2）时，f（x）的值域是（1，+∞），求a与r的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）是奇函数，建立条件关系，即可求出m的值；
（2）根据函数单调性的定义进行证明；
（3）由题设x∈（r，a-2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），可根据函数的单调性确定出两个参数a及r的方程，解方程得出两个参数的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0且a≠1，m≠1）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
∴log_a

1+mx

x+1

+log_a

1-mx

x-1

=0，
即m=±1，
∵m≠1，
∴m=-1，
此时f（x）=log_a

1+x

x-1

，满足f（-x）=-f（x），
即f（x）是奇函数．
∴m=-1．
（2）解：设1＜x₁＜x₂，则：

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

；
∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0；
∴

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

；
又0＜a＜1，
则log_a

x1+1

x1-1

-log_a

x2+1

x2-1

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）（3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即log_a

1+a-2

a-2-1

=log_a

a-1

a-3

=1，即

a-1

a-3

=a，…（16分）
所以a=2+

3

且r=1 …（18分）
2°当r＜1时，则（r，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1，这与a＞1不合，
所以a=2+

3

且r=1．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．