Question

已知点M为长方体AC₁的棱BC的中点，点P在长方体AC₁的面CC₁D₁D内，且PM∥平面BB₁D₁D，试探讨点P的确切位置．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：以DA、DC、DD₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设DA=a，DC=b，DD₁=c，利用向量法推导出点P在面DCC₁D₁的DC的中垂线EF上．

解答： 解：以DA、DC、DD₁为x，y，z轴，
如图，建立空间直角坐标系，设DA=a，DC=b，DD₁=c，
则A（a，0，0），B（a，b，0），D₁（0，0，c），P（0，y，z），
则M（

1

2

a，b，0），
又PM∥平面BB₁D₁D，根据空间向量基本定理，
必存在实数对（m，n），
使得

PM

=m

DB

+n

DD1

，
即(

1

2

a，b-y，-z)=(ma，mb，nc)，
等价于

1 2 a=ma b-y=mb -z=nc

，
解得m=

1

2

，y=

1

2

b，z=-nc，n∈R，
∴P（0，

b

2

，-nc），
∴点P在面DCC₁D₁的DC的中垂线EF上．

点评：本题考查点P的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．