Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

5

3

，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为12．
（1）求椭圆的面积；
（2）若点M、N在椭圆上，点E（1，1）为MN的中点，求出直线MN所在的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

c a = 5 3 2ab=12 a2=b2+c2

，解得a=3，b=2，c=

5

，由此能求出椭圆的面积．
（2）由（1）得椭圆方程为

x2

9

+

y2

4

=1，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由点E（1，1）为MN的中点，利用点差法能求出直线MN所在的方程．

解答： 解：（1）由已知得

c a = 5 3 2ab=12 a2=b2+c2

，
解得a=3，b=2，c=

5

，
∴椭圆的面积S=πab=6π．
（2）由（1）得椭圆方程为

x2

9

+

y2

4

=1，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∵点E（1，1）为MN的中点，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）代入椭圆方程，得：

x12

9

+

y12

4

=1，①

x22

9

+

y22

4

=1，②
①-②，得：8（x₁-x₂）+18（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

4

9

，
∴直线MN所在的方程为y-1=-

4

9

(x-1)，即4x+9y-13=0．

点评：本题考查椭圆的面积的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．