Question

已知椭圆的两个焦点分别为F₁（0，-2

2

），F₂（0，2

2

），离心率e=

2 2

3

．
（1）求椭圆的方程．
（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的中点的横坐标为-

1

2

，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）首先，根据椭圆的焦点位置，设出其标准方程，然后，结合离心率求解其中参数，从而确定其标准方程；
（2）设直线的方程，然后，联立方程组，消去一个未知量，转化成一元二次方程的思想求解．

解答： 解：（1）根据题意，设椭圆的标准方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1，（a＞b＞0），
∵

c= a2-b2 =2 2 e= c a = 2 2 3

，
∴a=3，b=1，
∴椭圆的标准方程为：

y2

9

+x2=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+b，
联立方程组

y=kx+b y2 9 +x2=1

，整理，得
（9+k²）x²+2kbx+b²-9=0，
∴△=（2kb）²-4（9+k²）（b²-9）＞0，
化简，得
k²-b²+9＞0，
x₁+x₂=-

2kb

9+k2

，x₁•x₂=

b2-9

9+k2

，
∵MN的中点的横坐标-

1

2

，
∴

1

2

（x₁+x₂）=-

1

2

，
∴x₁+x₂=-1，可得
9+k²=2kb，
两边平方并整理得，（9+k²）²=4k²b²，
∴b²=

(9+k2)2

4k2

，
又k²-b²+9＞0，
∴k²-

(9+k2)2

4k2

+9＞0，
解得k²＞3或k²＜-9（舍去），
∴k＜-

3

或x＞

3

，
∴k的取值范围为（-∞，-

3

）∪（

3

，+∞）．

点评：本题重点考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．