Question

下列命题中，错误的是（　　）

• A、在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件
• B、在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
• C、在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形
• D、在△ABC中，若B=60°，b²=ac，则△ABC必是等边三角形

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：A．在△ABC中，由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，可得sinA＞sinB?a＞b?A＞B，即可判断出正误；
B．在锐角△ABC中，由

π

2

＞A＞

π

2

-B＞0，可得sinA＞sin(

π

2

-B)=cosB，即可判断出正误；
C．在△ABC中，由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sin2A=sin2B，得到2A=2B或2A=2π-2B即可判断出正误；
D．在△ABC中，利用余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，代入已知可得a=c，又B=60°，即可得到△ABC的形状，即可判断出正误．

解答： 解：A．在△ABC中，由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，∴sinA＞sinB?a＞b?A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，正确；
B．在锐角△ABC中，A，B∈(0，

π

2

)，∵A+B＞

π

2

，∴

π

2

＞A＞

π

2

-B＞0，∴sinA＞sin(

π

2

-B)=cosB，因此不等式sinA＞cosB恒成立，正确；
C．在△ABC中，∵acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B或2A=2π-2B，∴A=B或A+B=

π

2

，因此
△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题；
D．在△ABC中，若B=60°，b²=ac，由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，∴ac=a²+c²-ac，即（a-c）²=0，解得a=c，又B=60°，
∴△ABC必是等边三角形，正确．
综上可得：C是假命题．
故选：C．

点评：本题考查了正弦定理余弦定理解三角形、三角函数的单调性、诱导公式、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．