Question

如图，已知点A的坐标为（1，0），点P为圆（x+1）²+y²=16上任意一点，点C为圆心，线段PA的垂直平分线交PC于点B．
（1）求证：△ABC的周长为定值；
（2）求点B的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直接由题意可得△ABC的周长为|BA|+|BC|+|AC|=|CP|+CA|=4+2=6定值；
（2）|BA|+|BC|=|CP|=4＞|CA|=2，点Q的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，且得到长半轴和半焦距，再由b²=a²-c²求得b²，则点B的轨迹方程可求．

解答： 解：（1）依题意知：|BA|=|BP|，
∴△ABC的周长为|BA|+|BC|+|AC|=|CP|+CA|=4+2=6定值；
（2）|BA|+|BC|=|CP|=4＞|CA|=2，
∴点Q的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，
a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查椭圆的定义，属于中档题．