Question

已知函数f（x）=ax³+|x-a|（a∈R）．
（1）是否存在实数a，使得函数f（x）在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增？请说明理由；
（2）若0＜a＜1，求函数f（x）在[-1，1]上的最大值；
（3）求证：对任意的实数a，存在x₀，恒有f（x₀）≠0，并求出符合该特征的x₀的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,绝对值不等式的解法

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据分段函数的表达式，利用导数进行判断；
（2）根据导数和最值之间的关系，即可求函数f（x）在[-1，1]上的最大值；
（3）将不等式恒成立，进行转化，解不等式即可．

解答： 解：（1）当a≠0时，f（x）=

ax3-x+a ，x＜a ax3+x-a ，x≥a

，
令g（x）=ax³-x+a（x＜a），h（x）=ax³+x-a（x＞a），g'（x）=3ax²-1，h'（x）=3ax²+1，
无论a＞0还是a＜0均不符合要求；
当a=0时，f（x）=|x|满足条件f（x）在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
故存在a=0，满足条件．
（2）若0＜a＜1，f（x）=

ax3-x+a ，x＜a ax3+x-a ，x≥a

，
当x＜a时，f'（x）=3ax²-1，f′(x)=3ax2-1=0⇒x=±

1 3a

，
当x＞a时，f'（x）=3ax²+1，
①当0＜a≤

1

3

，

1 3a

≥1，此时f（x）在[-1，a]上单调减，在[a，1]上单调
增，则在[-1，1]上f（x）_max=f（-1）=f（1）=1；
②当

1

3

＜a≤

3	1 3

，此时

1 3a

≥a，此时f（x）在[-1，-

1 3a

]上单调增，
在[-

1 3a

，a]上单调减，在[a，1]上单调增，
由于f(-

1 3a

)＞f(-1)=f(1)，
则在[-1，1]上f(x)max=f(-

1 3a

)=a+

2

3

1 3a

；
③当

3	1 3

＜a＜1，此时

1 3a

＜a，则此时f（x）在[-1，-

1 3a

]上单调增，
在[-

1 3a

，

1 3a

]上单调减，在[-

1 3a

，a]上单调增，在[a，1]上单调增，
则在[-1，1]上f(x)max=f(-

1 3a

)=a+

2

3

1 3a

；
综合①②③有      当0＜a≤

1

3

时，f（x）_max=1；
当

1

3

＜a＜1时，f(x)max=a+

2

3

1 3a

=a+

2 3a

9a

．
（3）①当a=0时，f（x）=|x|，方程f（x）=|x|=0只有0根；
②当a＞0时，方程f（x）=ax³+|x-a|=0没有0根和正根，
当a＞0，x＜0时，f（x）=ax³-x+a，
由方程f（x）=ax³-x+a=0得a=

x

x3+1

，
则

x＜0 a= x x3+1 ＞0

⇒x3+1＜0，得x＜-1；
③当a＜0时，方程f（x）=ax³+|x-a|=0没有0根和负根，
当a＜0，x＞0时，f（x）=ax³+x-a，
由方程f（x）=ax³+x-a=0得a=-

x

x3-1

，
则

x＞0 a=- x x3-1 ＜0

⇒x3-1＞0，得x＞1；
综上可知，对任意的实数a，存在x₀∈[-1，0）∪（0，1]，恒有f（x₀）≠0．

点评：本题主要考查函数的性质和导数之间的关系，要求熟练掌握函数的导数应用，考查学生的计算能力．有一定的难度．