Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且2cos

5π

3

cos（

π

3

-A）-cosA=

1

2

（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=

13

，△ABC的面积为3

3

，求sinB+sinC的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由条件利用两角和的正弦公式求得求角A的值sin（A-

π

6

）=

1

2

，结合A-

π

6

的范围，可得A-

π

6

的值，从而求得A的值．
（Ⅱ）由a=

13

，△ABC的面积为3

3

，求得bc的值；利用余弦定理求得b+c的值，再由正弦定理求得sinB+sinC的值．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，由2cos

5π

3

cos（

π

3

-A）-cosA=

1

2

可得

3

2

sinA-

1

2

cosA=

1

2

，
即 sin（A-

π

6

）=

1

2

．
再由A-

π

6

∈（-

π

6

，

5π

6

），可得A-

π

6

=

π

6

，A=

π

3

．
（Ⅱ）∵a=

13

，A=

π

3

，△ABC的面积为

1

2

bc•sinA=3

3

，∴bc=12．
再由余弦定理可得 a²=13=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc，∴b+c=7．
再由正弦定理可得

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

2 39

3

，
∴sinB+sinC=

3(b+c)

2 39

=

7 39

26

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和差的正弦公式，根据三角函数的值求角，属于中档题．