Question

设函数f（x）=

3

2

-

3

sin²ωx-sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为

π

4

．
（Ⅰ）求f（x）在[-

π

2

，0]上的单调区间；
（Ⅱ）若f（x₀）=

3

5

，且x₀∈[0，

π

3

]，求sin2x₀的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换可求得f（x）=cos（2x+

π

6

），利用余弦函数的单调性即可求得f（x）在[-

π

2

，0]上的单调区间；
（Ⅱ）由f（x₀）=

3

5

，x₀∈[0，

π

3

]，可求得2x₀+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，cos（2x₀+

π

6

）=

3

5

，sin（2x₀+

π

6

）=

4

5

，利用两角差的正弦即可求得答案．

解答： （Ⅰ）解：f（x）=

3

2

-

3

2

（1-cos2ωx）-

1

2

sin2ωx…1
=

3

2

cos2ωx-

1

2

sin2ωx=cos（2ωx+

π

6

）…3
依题意，得

1

4

T=

π

4

，故T=π．
由T=

2π

ω

=π，得ω=1，故f（x）=cos（2x+

π

6

）…5
由x∈[-

π

2

，0]，得（2x+

π

6

）∈[-

5π

6

，

π

6

]…6
当x∈[-

π

2

，-

π

12

]，即（2x+

π

6

）∈[-

5π

6

，0）时，f（x）单调递增；
当x∈[-

π

12

，0]，即（2x+

π

6

）∈[0，

π

6

）时，f（x）单调递减；…8
（Ⅱ）∵f（x₀）=

3

5

，且x₀∈[0，

π

3

]，
∴cos（2x₀+

π

6

）=

3

5

…9
又2x₀+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x₀+

π

6

）=

4

5

．
∴sin2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=sin（2x₀+

π

6

）cos

π

6

-cos（2x₀+

π

6

）sin

π

6

…12
=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

…13

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦函数的周期性与单调性，考查同角三角函数间的关系的应用及两角差的正弦，突出考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．