Question

已知抛物线Q：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点相同．
（Ⅰ）求抛物线Q的方程；
（Ⅱ）如图所示，设A、B、C是抛物线Q上任意不同的三点，且点A位于x轴上方，B、C位于x轴下方．直线AB、AC与x轴分别交于点E、F，BF与直线OC、EC分别交于点M、N．记△OBM、△ENF、△MNC的面积依次为S₁、S₂、S₃，求证：S₁+S₂=S₃．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）利用椭圆和抛物线的标准即可得出焦点坐标；
（II）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），E（x₄，y₄），F（x₅，y₅）．要证S₁+S₂=S₃，即证S_△OBF=S_△OCE，即证x₅y₂=x₄y₃，利用直线的方程与抛物线的方程联立可得根与系数，进而得到．

解答： 解：（Ⅰ）由椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的方程可得a²=4，b²=3，
∴c=

a2-b2

=1，
∴右焦点为（1，0），
由于抛物线Q：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点相同，
∴

p

2

=1，解得p=2，
故抛物线Q的方程为y²=4x； 
（Ⅱ） 设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），E（x₄，y₄），F（x₅，y₅）．
要证S₁+S₂=S₃，即证S_△OBF=S_△OCE，即证x₅y₂=x₄y₃，
设直线AB的方程为x=ty+x₄，代入y²=4x得
y²-4ty-4x₄=0，
由韦达定理得，y₁y₂=-4x₄，①
同理可得y₁y₃=-4x₅   ②
①×y₃得y₁y₂y₃=-4x₄y₃，②×y₂得y₁y₂y₃=-4x₅y₂，
∴x₅y₂=x₄y₃，证毕．

点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、面积问题的转化等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．