Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为θ（0＜θ＜π）的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点B'，连接BO，交准线于点A'，求四边形ABB'A'的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：分类讨论，当θ=

π

2

时，SABB′A′=2p2；当θ≠

π

2

时，令k=tanθ，证明四边形ABB'A'是直角梯形，利用SABB′A′=

1

2

(|AA′|+|BB′|)•|A′B′|=

1

2

|AB|•|A′B′|，可求四边形ABB'A'的面积．

解答： 解：当θ=

π

2

时，SABB′A′=2p2．               …（4分）
当θ≠

π

2

时，令k=tanθ．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
由y=k(x-

p

2

)，①y²=2px，②
消去x得，y2-

2p

k

y-p2=0，
所以y1+y2=

2p

k

，y1y2=-p2．   ③
又直线AO的方程为：y=

y1

x1

x，即为y=

2p

y1

x，
所以，AO与准线的交点的坐标为B′(-

p

2

，-

p2

y1

)，
而由③知，y2=-

p2

y1

，
所以B和B'的纵坐标相等，从而BB'∥x轴．
同理AA'∥x轴，故四边形ABB'A'是直角梯形．…（9分）
所以，它的面积为SABB′A′=

1

2

(|AA′|+|BB′|)•|A′B′|=

1

2

|AB|•|A′B′|
=

1

2

(x2-x1)2+(y2-y1)2

•|y2-y1|=

1

2

(y2-y1)2

1+ 1 k2

=

1

2

1+ 1 k2

[(y1+y2)2-4y1y2]
=2p2(1+

1

k2

)

3

2

=2p2(1+cot2θ)

3

2

．…（14分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查四边形面积的计算，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．