Question

已知函数f（x）=2sinaxcosax+2

3

cos²ax-

3

（其中a＞0），点A，B是y=f（x）图象上相邻的两个最值点，且|AB|=

π2 4 +16

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在锐角三角形△ABC中，f（A）=0，BC=

13

，AB=3，求AC的长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据|AB|的值，求出f（x）的周期T，利用周期公式即可求出a的值，确定出f（x）解析式；
（2）由f（x）解析式，以及f（A）=0，求出A的度数，再由BC，AB的长，利用余弦定理即可求出AC的长．

解答： 解：（1）f（x）=2sinaxcosax+

3

（2cos²ax-1）=sin2ax+

3

cos2ax=2sin（2ax+

π

3

），
设函数f（x）的最小正周期为T，
由题意得：|AB|=

42+( T 2 )2

=

π2 4 +16

，解得：T=π，
∴

2π

2a

=π，解得：a=1，
则f（x）=2sin（2x+

π

3

）；
（2）∵f（A）=2sin（2A+

π

3

）=0，
∴2A+

π

3

=kπ，k∈Z，
又0＜A＜

π

2

，
∴A=

π

3

，
由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA，
又BC=

13

，AB=3，
∴13=9+AC²-2×3×AC×

1

2

，
解得：AC=4．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的周期性及其求法，二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．