Question

已知函数f(x)=

2x+a

(x-1)2

，（x＞1）
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）函数f（x）在区间[3，+∞）上是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：压轴题,导数的综合应用

分析：（1）通过原函数求点的纵坐，通过导函数求切线的斜率，由点斜式求切线的方程；
（2）由导函数值的正负确定原函数的单调区间，注意要分类讨论；
（3）由（2）知原函数的单调区间，再根据极值情况研究函数的最值，同样需要注意分类讨论．

解答： 解：（1）当a=1时，
f′(x)=

-2(x-1)(x+2)

(x-1)4

=

-2(x+2)

(x-1)3

，
∴f'（2）=-8，
又f（2）=5，
∴切线方程为：y-5=-8（x-2）．
即：y=-8x+21．
（2）令f′(x)=

-2(x-1)(x+a+1)

(x-1)4

=

-2(x+a+1)

(x-1)3

=0，（x＞1），
得x=-a-1．
①当-a-1≤1，即a≥-2时，f'（x）＜0，（x＞1），
∴此时f（x）在（1，+∞）单调递减；
②当-a-1＞1，即a＜-2时，
当x∈（1，-a-1）时，f'（x）＞0；
当x∈（-a-1，+∞）时，f'（x）＜0．
∴此时f（x）在（1，-a-1）单调递增，在（-a-1，+∞）单调递减．
（3）由（2）可知：
①当a≥-2时，f（x）在[3，+∞）单调递减，
所以此时无最小值．
②当a＜-2时，
若-a-1≤3，即-4≤a＜-2时，f（x）在[3，+∞）单调递减，
此时也无最小值．
若-a-1＞3，即a＜-4时，
f(-a-1)=

2x+a

(x-1)2

=

-a-2

(-a-2)2

=-

1

a+2

＞0，
当x＞-a-1时，2x+a＞-2a-2+a=-a-2＞0∴x≥-a-1时，f（x）＞0，
又f(3)=

6+a

4

，
因此，若f（3）≤0，即a≤-6，则f(x)min=f(3)=

6+a

4

．
若f（3）＞0，即-6＜a＜-4，则无最小值．
综上所述：.[f(x)]min=

a+6 4   ，(a≤-6) 无  ，   (a＞-6)

点评：本题主要考查导数的知识，利用导函数求切线的方程，用导函数研究原函数的单调性和最值．本题同时考查了分类讨论的数学思想，对学生能力要求较高，属于于难题．