Question

已知函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），g（x）=x³-ax．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若对?x₁∈（0，+∞），总存在x₂∈[1，2]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求a的取值范围；
（3）证明不等式：（

1

n

）ⁿ+（

2

n

）ⁿ+…+（

n

n

）ⁿ＜

e

e-1

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,不等式的证明

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，可得f（x）≤f（1）=0，从而可求f（x）的最大值；
（2）若对?x₁∈（0，+∞），总存在x₂∈[1，2]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，等价于f（x）_max≤g（x）_max，
由（1）知f（x）_max=0，分类讨论，求出g（x）_max，即可求a的取值范围；
（3）由（1）知f（x）≤0即lnx≤x-1（x＞0），取x=

k

n

，可得ln

k

n

≤

k

n

-1=

k-n

n

，从而可得（

k

n

）ⁿ≤e^k-n，即可证明结论．

解答： （1）解：∵f（x）=lnx-x+1 （x＞0）
∴f′（x）=

1-x

x

，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）≤f（1）=0，∴f（x）的最大值为0；
（2）解：?x₁∈（0，+∞），总存在x₂∈[1，2]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，
等价于f（x）_max≤g（x）_max，
由（1）知f（x）_max=0，
当a≤0时，g（x）=x³-ax在x∈[1，2]时恒为正，满足题意．
当a＞0时，g′（x）=3x²-a，
令g′（x）=0，解得x=±

a 3

，
∴g（x）在（-∞，-

a 3

），（

a 3

，+∞）上单调增
若

a 3

≤1即0＜a≤3时，g（x）_max=g（2）=8-2a，∴8-2a≥0，∴a≤4，∴0＜a≤3
若1＜

a 3

≤2即3＜a≤12时，g（x）在[1，

a 3

]，[

a 3

，2]
而g（1）=1-a＜0，g（2）=8-2a在（3，4]为正，在（4，12）为负
∴3＜a≤4
当

a 3

＞2而a＞12时g（1）＜0，g（2）＜0不合题意
综上a的取值范围为  a≤4．
（3）证明：由（1）知f（x）≤0即lnx≤x-1（x＞0）
取x=

k

n

，∴ln

k

n

≤

k

n

-1=

k-n

n

，
∴nln

k

n

≤k-n，即（

k

n

）ⁿ≤e^k-n，
∴（

1

n

）ⁿ+（

2

n

）ⁿ+…+（

n

n

）ⁿ≤e^1-n+e^2-n+…+e^n-n=

e1-n-en-n•e

1-e

=

e-e1-n

e-1

＜

e

e-1

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于难题．