Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C：x²=4

3

y的焦点重合，F₁F₂分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e=

1

2

，直线l：y=kx+m（km＜0）与椭圆C交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，AB∥l，且

|AB|2

|MN|

=4．是否存在直线l，使得

OM

•

ON

=-2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）利用抛物线的方程可得焦点，即可得到椭圆的上顶点，即得到b，再利用离心率计算公式和a²=b²+c²即可得出；
（II）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系及其弦长|MN|，令m=0即可得出|AB|，再利用已知

|AB|2

|MN|

=4可得m与k的关系，利用数量积

OM

•

ON

=-2即可解出．

解答： 解：（Ⅰ）由抛物线C：x²=4

3

y的焦点为(0，

3

)，
∴椭圆的上顶点为(0，

3

)，
∴b=

3

，
e=

c

a

=

1

2

，又a²=b²+c²，
解得a=2，c=1．
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
∴△=64k²m²-16（4k²+3）（m²-3）=16（12k²-3m²+9）＞0，
则|MN|=

1+k2

•

△

3+4k2

=

4 1+k2 12k2-3m2+9

3+4k2

，
令m=0，可得|AB|=

4 1+k2 12k2+9

3+4k2

，
∴

|AB|2

|MN|

=

12 1+k2

12k2-3m2+9

=4，化简得m=-k或m=k（舍去），
∴

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]
=

4k2-12

3+4k2

+k2(

4k2-12

3+4k2

-

8k2

3+4k2

+1)=

-5k2-12

3+4k2

=-2，
解得k=±

2

，
故直线l的方程为y=

2

(x-1)或y=-

2

(x-1)．

点评：本题考查了椭圆抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．