Question

如图，己知|

OA

|=2，|

OB

|=1，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，

OP

=x

OA

+y

OB

，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，满足题设条件的为

 

（写出所有正确式子的序号）．
①x≥0，y≥0；②x-y≥0；③x-y≤0；④x-2y≥0；⑤2x-y≥0．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：利用向量共线定理，及三角形法则，将向量

OP

用

OA

，

OB

表示出来，则

OA

，

OB

的系数对应等于x，y．由此即可解题．

解答： 解：设线段OP与AB的交点为C，
则由向量共线定理知：存在实数λ，使得

OP

=λ

OC

 其中λ＞0，
∴

OP

=λ

OC

=λ（

OA

+

AC

）
=λ

OA

+λ

AC

．
∵

AC

，

AB

共线，
∴存在实数μ，使得

AC

=μ

AB

，
∵N为BC的中点，
∴μ＞

1

2

；
又∵|

OA

|=2，|

OB

|=1，OM平分∠AOB，
∴由正弦定理知，AM=2BM，
∴AC≤AM=

2

3

AB，
故

1

2

≤μ≤

2

3

，
∴

OP

=λ

OA

+λμ

AB

=λ

OA

+λμ(

OB

-

OA

)
=λ（1-μ）

OA

+λμ

OB

，
∴x=λ（1-μ），y=λμ
又∵λ＞0，

1

2

≤μ≤

2

3

，
∴x≥0，y≥0；
x-y=λ（1-2μ）≤0；
2x-y=λ（2-3μ）≥0．
故答案为：①③⑤．

点评：本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题．