Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，离心率为

3

2

，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，若k≠0，试证明：

1

kk1

+

1

kk2

为定值，并求出这个定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

2b2

a

=1，

c

a

=

3

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），则直线l的方程为y-y₀=k（x-x₀）．联立

x2 4 +y2=1 y-y0=k(x-x0)

，得（1+4k²）x²+8（ky₀-k²x₀）x+4（y₀²-2kx₀y₀+k²x₀²-1）=0．由此利用根的判别式结合题设条件能证明

1

kk1

+

1

kk2

为定值-8．

解答： （1）解：∵c²=a²-b²，∴将x=-c代入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y=±

b2

a

．
∵过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l，
∴

2b2

a

=1，即a=2b²．…（2分）
∵离心率e=

c

a

=

3

2

，…（4分）
∴a=2，b=1．…（5分）
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y²=1．…（6分）
（2）证明：设P（x₀，y₀）（y₀≠0），则直线l的方程为y-y₀=k（x-x₀）．
联立

x2 4 +y2=1 y-y0=k(x-x0)

，…（8分）
整理得（1+4k²）x²+8（ky₀-k²x₀）x+4（y₀²-2kx₀y₀+k²x₀²-1）=0．
由题意知△=0，即（4-x₀²）k²+2x₀y₀k+1-y₀²=0．…（10分）
又

x02

4

+y₀²=1，
∴16y₀²k²+8x₀y₀k+x₀²=0，
∴k=-

x0

4y0

．…（12分）
由（2）知

1

k1

+

1

k2

=

x0+ 3

y0

+

x0- 3

y0

=

2x0

y0

，…（15分）
∴

1

kk1

+

1

kk2

=

1

k

(

1

k1

+

1

k2

)=（

-4y0

x0

）•

2x0

y0

=-8，
∴

1

kk1

+

1

kk2

为定值，这个定值为-8．…（16分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两数和为定值的证明与求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．