Question

函数f（x）=

1

2

（a^x+a^-x）（a＞0，且a≠1）的图象经过点（2，

41

9

）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在[0，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）应用代入法，求出a，从而得出函数f（x）的解析式；
（2）运用函数单调性定义证明：分设值、作差、变形、定符号、下结论几步．

解答： 解：（1）∵f（x）图象过点（2，

41

9

），
∴f（2）=

41

9

，即

1

2

(a2+a-2)=

41

9

，
∴a²=9或a²=

1

9

，
∵a＞0且a≠1，
∴a=3或a=

1

3

，
∴f（x）的解析式为：f（x）=

1

2

(3x+3-x)；
   （2）证明：设0≤x₁＜x₂，则
   f（x₁）-f（x₂）=

1

2

(3x1+3-x1)-

1

2

(3x2+3-x2)
=

1

2

[(3x1-3x2)+

3x2-3x1

3x1•3x2

]
=

1

2

(3x1-3x2)•

3x1+x2-1

3x1+x2

，
∵x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2即3x1-3x2＜0，
∵0≤x₁＜x₂，
∴3x1+x2＞1，即3x1+x2-1＞0，3x1+x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查函数的单调性的证明，解题时必须严格按照五个步骤加以证明，特别注意三、四两个步骤．本题是一道基础题．