Question

实数x、y满足x²+y²=4，则x+y-xy的最大值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：三角函数的图像与性质

分析：由实数x、y满足x²+y²=4，利用三角函数代换x=2cosθ，y=2sinθ．令t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)（θ∈[0，2π）），t∈[-

2

，

2

]，可得2sinθcosθ=t²-1．x+y-xy=2cosθ+2sinθ-4sinθcosθ=-2(t-

1

2

)2+

5

2

，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵实数x、y满足x²+y²=4，
∴可设x=2cosθ，y=2sinθ．
令t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)（θ∈[0，2π）），
∴t∈[-

2

，

2

]．
则t²=1+2sinθcosθ，可得2sinθcosθ=t²-1．
∴x+y-xy=2cosθ+2sinθ-4sinθcosθ
=2t-2（t²-1）
=-2(t-

1

2

)2+

5

2

≤

5

2

，
当且仅当t=

1

2

时，x+y-xy取得最大值为

5

2

．
故答案为：

5

2

．

点评：本题考查了圆的参数方程、三角函数代换、三角函数基本关系式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了转化方法和计算能力，属于中档题．