Question

证明：

x

x+1

＜ln（1+x）＜x（x＞0）（x＞0）．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：要证不等式ln（x+1）＞

x

x+1

恒成立，只需证（x+1）ln（x+1）-x＞0成立，构造函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，利用导数判断f（x）在x＞0时单调递增，从而得到f（x）＞f（0）=0，即（x+1）ln（x+1）-x＞0成立；令f（x）=x-ln（x+1），根据它的导数的符号可得函数f（x）的单调性，再根据函数的单调性求得f（x）＞0，从而证得不等式．

解答： 证明：∵x＞0，
∴要证ln（x+1）＞

x

x+1

，
只需证（x+1）ln（x+1）＞x，
即证（x+1）ln（x+1）-x＞0，
令f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，
则f′（x）=ln（x+1）+1-1=ln（x+1），
∵x＞0，
∴ln（x+1）＞ln1=0，
即f′（x）＞0，
∴f（x）在x＞0时单调递增，
∴f（x）＞f（0）=0
∴（x+1）ln（x+1）-x＞0成立，
∴

x

x+1

＜ln（1+x）．
令f（x）=x-ln（x+1），则它的导数为 f′（x）=1-

1

1+x

．
当x＞0时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
故有f（x）=x-ln（x+1）＞0，∴ln（x+1）≤x．
∴

x

x+1

＜ln（1+x）＜x（x＞0）．

点评：本题考查不等式的性质，导数在研究函数单调性中的应用，属于中档题．