Question

设平面向量

m

=（cos²

x

2

，

3

sinx），

n

=（2，1），函数f（x）=

m

•

n

．
（1）当x∈[-

π

3

，

π

2

]时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）锐角△ABC的三个内角ABC对应一边分别是a，b，c，若f（c-

π

6

）=

2

+1，且b=4，△ABC的面积等于b，求c的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由向量数量积的坐标运算求得函数f（x）并化简，然后结合x的范围求得函数f（x）的取值范围；
（2）化简f（c-

π

6

）=

2

+1得可得sinC=

2

2

，△ABC的三个内角ABC都为锐角，故cosC=

2

2

，再据已知可求的a的值，从而根据余弦定理即可求出c的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（cos²

x

2

，

3

sinx），

n

=（2，1），
∴f（x）=（cos²

x

2

，

3

sinx）•（2，1）
=2cos²

x

2

+

3

sinx
=cosx+

3

sinx+1
=2sin（x+

π

6

）+1．
因为x+

π

6

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z，⇒x∈[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]k∈Z，
故f（x）的单调递减区间为：[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]（k∈Z）；
（2）f（C-

π

6

）=2sinC+1=

2

+1，可得sinC=

2

2

，△ABC的三个内角ABC都为锐角，故cosC=

2

2

，
S_△ABC=b=

1

2

×a×4×sinC=4，可得a=2

2

，
由余弦定理知：c²=a²+b²-2abcosC=8+16-16=8，
故可求得c=2

2

．

点评：本题考查平面向量数量积的运算，考查了三角函数中的恒等变换的应用，训练了由已知三角函数的值求其它三角函数值，是中档题．