Question

已知函数f（x）=2|x+1|-|x-3|
（1）求不等式f（x）≥5的解集；
（2）当x∈[-2，2]时，关于x的不等式f（x）-|2t-3|≥0有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）化简函数的解析式，把不等式转化为与之等价的3个不等式组，解出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）当x∈[-2，2]时，f（x）∈[-4，5]，由题意可得 5-|2t-3|≥0，由此求得t的范围．

解答： 解：（1）f（x）=2|x+1|-|x-3|=

x+5 ，x≥3 3x-1 ，-1＜x＜3 -x-5  ，x≤-1

，由式f（x）≥5，可得

x+5≥5 x≥3

 ①，或 

3x-1≥5 -1＜x＜3

 ②，或

-x-5≥5 x≤-1

．
解①求得x≥3，解②求得 2≤x＜3，解③求得 x≤-10．
故不等式的解集为[2，+∞）∪（-∞，-10]．
（2）当x∈[-2，2]时，f（x）∈[-4，5]，∵关于x的不等式f（x）-|2t-3|≥0有解，
∴5-|2t-3|≥0，即-5≤2t-3≤5，求得-1≤t≤4，
故t的范围为[-1，4]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．